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프랙탈, 카오스(혼돈) 속의 질서

공전의 히트를 쳤던 과학 책이 있다.

바로 <카오스(Chaos) By James Gleick>

 

(제임스 글리크의 책 카오스)

 

표지에 신비로운 파란 날개를 가진 나비와 그 뒤 나비 모양의 패턴을 겹친 그림이 있다.

 

<나비효과>라고 하는 이름의 영화도 있고 패턴의 모양이 ‘나비’처럼 보이기도 하고,

‘상하이에서 한 마리 나비의 날갯짓이 미국 서부에서의 큰 태풍을 일으킬 수 있다’는

카오스 이론의 유명한 설명도 있지만

 

신비롭기만 한 자연의 비밀에 다가가기 위해

이 글에서는 좀 더 많은 이야기를 해보고자 한다.

 

(EBS <경이로운 자연의 세계> 중)

 

여러분은 위 두 영상에서 공통의 ‘곤충’이 보이는가?

 

맞다.정답은 ‘사마귀’이고

각각의 동물 이름은 ‘잎 사마귀’와 ‘꽃 사마귀’이다.

 

(유튜브 채널 안될 과학, 카오스이론 편 중 발췌)

 

위의 두 영상은 <안될 과학> 유튜브의

‘카오스 이론’ 편에서 소개하고 있는 내용들인데

자기 유사성을 가진 프랙탈을 통해 자연 현상을 표현할 수 있다는 내용을 담고 있다.

(혼돈 속에서도 끊임없이 유사하게 반복되는 특정한 구조)

 

이 영상에 나오는 프랙탈 패턴들(컴퓨터로 뽑아낸)은 신기하게도

첫 번째는 식물의 ‘잎사귀’와 닮아 있고 두 번째는 ‘조개껍데기’와 닮았다.

 

 

자연에서든 컴퓨터에서든 왜

이러한 ‘프랙탈’ 패턴이 존재하는 것일까?

이와 관련된 내용을 조금 더 깊게 다루는 과학과 수학(카오스 이론과 프랙탈 이론)은 있지만

아쉽게도 프랙탈의 존재 이유에 대해 실제적으로 증명된 설명은 아직까지 없다.

 

 

천재 물리학자 스티븐 호킹은 그의 저서 <시간의 역사>의 서문에

과학의 궁극적인 목적은 ‘모든 것의 이론(Theory of Everything)’이라는 말을 남겼다.

 

아인슈타인도 우주의 4대 힘(중력, 전자기력, 강력, 약력)을 통합하기 위한

‘통일장 이론’을 완성하기 위해 여생을 보냈다. 비록 완성하지는 못했지만…

 

이들 삶의 미션이자 즐거움은 아마도 신비롭기만 한

우주와 자연을 완전히 설명할 수 있는

어떠한 ‘진리’를 깨닫기 위함이였을 것이다.

 

 

현재까지 모든 것을 완전히 증명해 낼 수 있는 ‘모든 것의 이론’은 존재하지 않는다.

하지만 ‘초끈이론’은 상대성 이론과 양자 역학을 수학적 모순 없이 통합을 해내면서

오늘날 ‘모든 것의 이론’을 표방하는 가장 강력한 후보가 되었다.

※ 초끈이론: 우주를 구성하고 있는 최소 단위를 끊임없이 진동하는 끈으로 보고

우주와 자연의 궁극적인 원리를 밝히려는 이론 (두산백과 참조)

 

나는 ‘모든 것의 이론’의 가장 강력한 후보 중 하나인 ‘초끈이론’ 토대 위에

나의 한 가지 생각을 더해 신비로운 자연 현상 ‘프랙탈’을 설명해 보고자 한다.

 

 

우주의 원리를 설명하고 이해하는데 현대 물리학에서

가장 근본적으로 사용되는 두 가지 이론이 아인슈타인의 ‘상대성 이론’과

‘양자 역학'인데(원자 및 분자 등 미시적 물질세계를 설명할 수 있는 현대 물리학의 기본 이론으로

1905년 아인슈타인이 발표한 <빛의 발생과 변화에 대하여>라는 논문이 양자역학의 기초가 되었다.)

 

이 ‘상대성 이론’과 ‘양자 역학’ 두 가지 이론의 모순점을 해결하고

(두 가지 이론에는 서로 양립할 수 없는 충돌점이 있다)

이를 통합하여 연결할 수 있는 가능성을 나타내는 것이 ‘초끈이론’이다.

 

이 ‘초끈 이론’을 단 하나의 우주 공식으로 하여
빅뱅(우주 탄생)부터 지구, 생명, 진화 등을 쭉 계산하는 상상을 해보자면

(상대성이론과 다르게 양자역학은 확률적 요소가 있는 비결정론적 이론이고

‘초끈이론’은 이 확률적 요소마저 포함된 이론이다.)

 

상상의 계산 속에는 확률적 요소가 포함되어 있을 것이다.

우리의 상상 속 우주에는 이 확률적 요소라는 것이 있다는 것을 꼭! 기억하면서

 

 

자, 여러분은 이 상상의 우주에서도 ‘잎 사마귀’ 와 ‘꽃 사마귀’가 존재할 것 같은가?

 

조금 더 구체적으로 상상 속 우주를 생각해 보자면 여러분은 앞서 본‘식물’에서 발견된

‘잎사귀’ 모양이 혹시 ‘동물’에서도 공통적으로 발견될 것 같은가?

 

 

나의 상상 속에서 답은 “네(Yes)”이다.

그 이유는 확률적 요소를 계산하는 컴퓨터가 완전한 우연처럼 보이는

‘질서 우연(Pseudo Random)’으로 동작하기 때문이다.

 

‘질서 우연’이라는 것은 ‘초기값(Seed)’을 똑같이 설정해 주면

우연히 발생하는 값도 같은 순서로 발생하게 되는데,

심지어 초기값은 이런 질서 우연 규칙에 넣는 입력값일뿐

그 우연을 만들어 내는 규칙은 단 하나이다.

 

만일, 대답을 “아니오(No)”라고 하기 위해!

이런 질서 우연이 아니라 수학적인 정의인

완전한 우연으로 상상의 우주가 계산이 된다면

 

       1. 식물의 ‘잎’과 동물의 ‘잎 사마귀’와 같이 서로 다른 진화적 과정에서도

       동일한 패턴이 발생할 수 있다는 것을 설명하기 어렵고

       2. 매번 새롭게 ‘빅뱅’부터 시작하는 우주들은 완전히 다 다를 수밖에 없어

       프랙탈을 포함한 어떤 “패턴”이 존재할 수 있다고 생각하기는 더더욱 어렵다.

 

 

완전한 우연 vs 질서 우연

현존하는 모든 컴퓨터에는 놀랍게도 완전한 우연의 구현은 존재하지 않는다.

다만 완전한 우연을 최대한 가깝게 구현하기 위한

다양한 ‘질서 우연 알고리즘’들 만이 존재할 뿐이다.

 

그리고 이런 알고리즘들 대부분은 그 출현이 완전히 불규칙해 보이는

‘소수(1과 자기 자신으로만 나누어지는 수)’를 활용하고 있다.

여기서 또 한 번의 놀라운 반전은

이 완전한 우연처럼 보였던 ‘소수’의 발생에도 규칙이 있다는 것이다.

 

이를 설명할 수 있는 것이 바로,

‘리만 가설(소수로만 이루어진 어떤 수식이 다른 질서 있는 수식과 일치한다는 내용)’이다.

 

(유튜브 채널 <슈카월드>의 리만가설 설명 참조)

 

‘리만가설’은 독일의 수학자 리만(1826~1866) 제기한 것으로

1과 자기 자신으로만 떨어지는 수(소수)들이

어떤 패턴을 지니고 있을까? 라는 질문에서 시작되었다.

 

소수들에 숨어있는 규칙을 찾아내기 위한 질문에서 시작된 리만 가설은

‘제타 함수의 정해지지 않은 모든 영점들은 일적선 위에 있다’고 주장하는데

계산적으로 항상 성립하여 <참>된 가설로 여겨지고 있다.

 

하지만 아직까지 이 가설을 완전히 증명해낸 수학자 또는

물리학자들이 없기 때문에 현존하는 최대의 난제 중 하나로 꼽히고 있다.

 

 

여기서 리만가설을 거의(99%) 증명했다고 여겨지는

최신 논문(Baton Rouge, 2017) 하나를 살펴보자.

이 논문의 참신한 점은 수학적 공식인 ‘리만 가설’을 ‘슈뢰딩거 파동방정식’이라는

물리적 공식(양자역학 개념)으로 바꾸어서 증명한 것이다.

 

양자역학은 그 어떠한 물리 공식보다 정확도가 높은 공식으로 유명하다.

또한 그 공식에 ‘실수(Real Number)’ 뿐만 아니라

‘허수(Imaginary Number)’ 체계를 도입하여 그 해석에 철학적인 관점까지 담고 있다.

(영화 매트릭스의 세계관에도 양자역학을 포함하고 있다)

 

특히, 양자역학의 핵심이라 할 수 있는 것은 상호 관계(관측) 시

입자의 상태가 확률적으로만 결정된다는 내용에서 ‘허수부분’이 사라지고

‘실수부분’만 남게 되는 특수한 행위(Hermitian Operators, 수학 용어)를

상호 관계로 정의한 부분이라 할 수 있다.

 

양자역학에서는 수학적 특성 등을 고려해서 다음과 같은 ‘공리’를 채택하고 있다.

※공리(Axiom)는 논리학이나 수학 등의 이론체계에서 가장 기초적인 근거가 되는 명제이다.

증명할 필요가 없이 자명하므로 진리이자 다른 명제들을 증명하는데

전제가 되는 원리로서 가장 기본적인 가정을 가리킨다.

 

• 양자역학 공리 : ‘물리적인 값의 측정은 에르미트 연산자(Hermitian Operator 수학 용어)로 표현되며

         측정값은 이 연산자(operator)에 대한 고유값(eigenvalue)만 가능하다.’

 

 

수학적으로 에르미트 연산자의 고유값은 항상 실수값을 갖는다.

따라서 이 공리는 물리적 측정값은 항상 허수가 없는

실수값으로 나온다는 뜻이 된다. 이런 공리가 너무 당연해 보이지 않는가?

 

논문에서 수학적 문제를 물리적 문제로 바꾸어서 증명한 것도 놀랍지만,

양자역학의 파동방정식이 붕괴(허수부는 사라지고 실수부만 관측되는) 하는

자연스러운 물리적 현상(공리)이 리만가설 증명의 유일한 가정이라는 점은 더욱 놀랍다.

 

단, 논문에서 1% 정도 부족하다고 이야기되는 부분은 수학적 가설인

‘리만가설’의 풀이에 물리법칙에 존재하는 ‘공리’를 썼다는 점이다.

이 부분은 사람들 사이에도 논란의 여지가 있는 부분이다.

 

나는 ‘리만가설’이 <참>이라는 것을 ‘공리’로 여긴다면

이 논문에 나와있는 ‘가정’ 자체가 <참>이라고 해석하는 입장이다.

**양자역학의 공리를 인용하여 리만가설이 <참>이라면

이 가설의 ‘<참>을 증명하는 과정의 가정’ 역시도 참으로 보기 때문이다.

 

 

이 관점으로 논문을 다시 풀어보자면,

실수(소수를 포함한 수)는 우리가 세상에서 실제 관측할 수 있는 것을 표현하는 값이다.

 

논문의 1% 부족한 부분으로 꼽히는 그 ‘가정’이라는 것은

공리적 관점에서 볼 때 실제 이 세상이 ‘실수와 허수'로 구성된

어떤 수식(리만가설, 초끈이론처럼)’에서 시작되었고

 

이 수식을 계산(입자 간의 상호 관계)하고 있는 과정이

우리가 존재하는 우주이며 우리의 시공간에서 관측할 수 있는 것은

‘실수’밖에 없다는 것을 ‘증명’하고 있는 과정으로도 해석할 수 있다.

 

 

디지털 세계와 연속적인 세계의 통합

리만가설의 <참>은 초끈이론을 지지한다.

이 두 개의 이론은 물리와 수학을 통합(하나의 개념으로 설명)한다는 공통점이 있다.

 

특히 초끈이론에서는 ‘최소 길이의 단위’가 있는 디지털 양자역학 세계와

‘점의 연속적인 시공간’으로 표현되는 상대성이론의 세계를 통합하여 설명하고 있다.

 

 

자, “평면의 원 안에 촘촘히 들어가는 작은 사각형을 상상해 보자”

2,3,5,7,…

 

이와 같이 계속해서 발생하는 ‘소수’는

디지털의 세계(디지털 입자, 작은 사각형)가 연속적인 시공간의 세계(평면의 원)와

가장 촘촘하게 관계를 맺을 때 점점 커지는 그 공간을

 

가장 효율적으로 가득 메우기 위해 필요한

작은 사각형(초끈이론에서의 끈)들의 묶음이 바로 ‘패턴’이다.

2개씩, 3개씩, 5개씩, 7개씩, …

 

 

그래서 소수와 그 거듭제곱(자기유사성)으로 이 세상에 존재하는

모든 자연수를 나타낼 수 있는 것이고 이러한 구조를 바로 ‘프랙탈 구조’라고 부른다.

 

즉, 우주의 시공간을 구성하는 기본 입자(끈)들의 묶음 패턴인 소수는 ‘프랙탈’이다.

자, 첫 질문에 대한 답을 이제 정리해보자.

 

 

우리가 사는 세상에 ‘프랙탈’ 패턴이 존재하는 이유는?

리만가설이 <참>이고 이를 컴퓨터와 ‘초끈이론’을 토대로 설명한다면

이 세상은 ‘초끈이론’에 대한 컴퓨터의 계산 과정이자

그 컴퓨터가 어떠한 질서적 원리에 의해서 만들어지고 있다고 볼 수 있다.

 

마치 완전한 우연처럼 보이는 확률적 요소를

규칙적인 소수의 발생을 통해 설명하는 리만가설의 증명처럼…,

 

우리가 사는 세상이 초끈이론과 같은 작은 질서 속에서 시작되었고

그 안의 확률적 요소가 특정한 질서를 따르기 때문에 실상 예측 불가능한

카오스(혼돈) 속에서조차 ‘프랙탈’ 패턴과 같은 규칙성을 발견할 수 있는 것이다.

 

 

또한 우주를 구성하는 가장 근원적인 입자의 배열 모습부터가

‘프랙탈’ 구조로 이루어졌기 때문에 이 세상은 모두 ‘프랙탈’로 표현이 가능하게 된다.

 

이는 자연에서 발견되는 잎사귀 모양과 같은 패턴을

컴퓨터 계산으로 구현 가능한 이유이기도 하다.

 

정말, 신비롭지 않은가?